¿Qué es un evento?
Hablando de Probabilidad
Uno de los conceptos fundamentales de la Teoría de la Probabilidad, y al mismo tiempo uno de los peor explicados y entendidos, es el de evento, y sobre ello me permito exponer algunas ideas subversivas. El estudio de aquellos fenómenos y experimentos de resultado incierto (mal llamados “aleatorios”, lea El azar no existe) comienza por identificar el conjunto de resultados posibles, respecto a los cuales existe incertidumbre sobre el que se observará u obtendrá en un momento dado. A dicho conjunto, que denotaremos mediante la letra griega mayúscula omega
usualmente se le denomina, de forma excesiva, espacio muestral. En matemáticas se reserva el concepto de espacio para hablar de uno o varios conjuntos, con algunas operaciones y relaciones ahí definidas. Denominar “espacio muestral” a lo que solo constituye un conjunto me parece excesivo, pero desafortunadamente ya se afianzó esa terminología. Tan fácil que sería denominarlo simplemente conjunto muestral, si acaso.
Para que exista incertidumbre sobre el resultado, el espacio muestral debe tener al menos dos resultados posibles, pudiendo tener incluso una cantidad infinita, numerable o no numerable. En este contexto ¿qué es un evento asociado al fenómeno o experimento de interés? Es común encontrar en muchos libros elementales de Probabilidad que lo definan simplemente como un subconjunto del espacio muestral. Esto es tan absurdo como pretender que lo siguiente es una definición: un chilango1 es un mexicano. Lo anterior es consecuencia de una definición (chilango = persona que nació en la Ciudad de México, por ejemplo), pero no es aceptable como definición, ya que también un veracruzano es mexicano, esto es, no todo mexicano es chilango.
A todo evento se le puede asociar un subconjunto del espacio muestral, pero no todo subconjunto del espacio muestral representa un evento, y por ello no es aceptable como definición.
Un evento es una proposición lógica2 cuya evaluación como verdadero o falso depende del resultado del fenómeno o experimento al que se le asocia.
Consideremos el experimento de lanzar sobre una mesa un dado con caras numeradas del 1 al 6. El espacio muestral se puede representar como:
y respecto a éste podemos definir eventos de interés, por ejemplo:
Claramente se trata de una proposición lógica que podrá ser evaluada como verdadera o falsa, una vez que se conozca el resultado del lanzamiento. Como consecuencia de esta definición particular, podemos identificar cuáles posibles resultados tendrían como consecuencia evaluar al evento como verdadero, y construir un conjunto con dichos elementos:
Esto es, como consecuencia de la definición de este evento particular, podemos asociarle un subconjunto del espacio muestral que tiene por elementos solo a aquellos resultados que conducen a una evaluación de verdadero a la proposición lógica que define al evento. Decimos entonces que ocurre un evento cuando la proposición lógica que lo define resulta ser verdadera ante un resultado observado, y obviamente que no ocurre cuando la evaluación es falsa. Esto implica que cada vez que se repita el fenómeno o experimento de resultado incierto, dependiendo del resultado en cada ocasión, será que hablaremos de que un mismo evento a veces ocurre y a veces no.
¿Existen subconjuntos del espacio muestral que no son eventos, así como existen mexicanos que nos son chilangos? La respuesta es afirmativa, pero no se me ocurre una forma simple de explicarlo sin recurrir a conceptos de Teoría de la Medida (si alguien tiene una sugerencia, comparta por favor). Y justamente esto ponen de pretexto algunos colegas para definir provisionalmente el concepto de evento como subconjunto del espacio muestral. Pero para entender una definición de evento como una proposición lógica no se requiere de conceptos más avanzados de matemáticas, más allá de la lógica proposicional. Considero que es mejor definirlo así, y dejar para más adelante la curiosidad de cómo construir subconjuntos de un espacio muestral que no sean probabilísticamente medibles y que, por tanto, no existe un evento que se asocie a ellos, en lugar de engañar a principiantes con una definición errónea.
Para quienes no sepan, a falta de un gentilicio comúnmente aceptado para quienes nacimos en la Ciudad de México, hemos adoptado chilango, que en sus orígenes pretendía ser despectivo. Una norteña en alguna ocasión me explicó que es porque somos, en general, muy feos: cuerpo de chile y cara de chango, y de ahí chilango, pero seguro existen otras explicaciones más amables para el origen del término.
Una proposición lógica es un enunciado susceptible de ser evaluado, en un momento dado, como verdadero o falso. Por ejemplo: “Yo nací en Australia” (falso, en mi caso). “La vida” (no es proposición lógica, porque este enunciado no es susceptible de ser calificado como verdadero o falso).
Si nos ponemos más estrictos, varios eventos se pueden asociar a un sólo subconjunto de Ω. Siguiendo el ejemplo del artículo, al conjunto {2,4,6} se le puede asociar el evento “El resultado no es impar” o el evento “El resultado es 2, 4 o 6”, etc.
Evidentemente dichas proposiciones son lógicamente equivalentes al evento “El resultado es par”, pero estrictamente no son la misma proposición. De ahí que habría que definir una relación de equivalencia entre las propocisiones lógicas asociadas a nuestro experimento y asignar a cada clase de equivalencia un subconjunto de Ω.
Migue Ángel García Álvarez en su texto “Introducción a la Teoría de la Probabilidad” plantea dicha idea de manera un poco más formal.
A pesar de ese detalle técnico, creo que la idea que transmite el artículo es muy atinada y necesaria. Lo más interesante es que una vez entendido a más profundidad el concepto de evento, también se ve de manera “más natural” porque se debe considerar la estructura de σ-álgebra para el conjunto de eventos de interés.
Saludos, Dr. Entiendo y me parece apropiada la definición de evento como el conjunto de resultados que hace verdadera a una proposición lógica. No entiendo la pregunta acerca de la existencia de subconjuntos del espacio muestral que no son eventos. No alcanzo a ver la analogía con mexicanos que no son chilangos. Me caería bien un ejemplo de no evento en el caso del dado.